The Relations among Invariants of Points on the Projective Line

Nous considérons l’anneau des invariants de n points ordonnés sur la droite projective. L’espace (P)//PGL2 est peut-être le premier exemple intéressant d’un quotient GIT. La construction dépend du choix des poids pour les n points. En 1894, Kempe [K] a introduit un ensemble de générateurs (au moins dans le cas où tous les poids sont constants egaux à 1). Ici, nous décrivons les rélations entre les générateurs pour tous les choix possibles de poids. En un sens il n’y a qu’une rélation, qui est quadrique sauf dans le cas classique de la cubique de Segre, i.e. lorsque n = 6 et les poids sont 16. Pour n plus petit ou egal a 6, la géométrie est classique. Le cas n = 8 est plus riche encore et est developpé dans cet article. 1. VERSION FRANÇAISE ABRÉGÉE Il est bien connu que la géométrie des invariants de n points ordonnés, pour n ≤ 6, est très riche. Nous nous demandons s’il existe une structure similaire pour plus de points. Le cas de 8 points, qui s’avère être plus riche encore, peut être décrit en utilisant des constructions classique. Dans le cas général de n points , avec des poids arbitraires, nous décrivons les générateurs de l’idéal des relations en termes d’une algèbre graphique (? je ne sais pas si c’est la bonne terminologie). En un certain sens, il y a une seule relation si l’on tient compte des symétries. Quand tous les poids sont egaux à 1 et n est pair, il y a exactement une seule relation en plus des symétries. En général, la rupture de symétrie donne d’autre équations. La cubique de Segre est trompeuse: dans tous les autres cas, les relations sont quadriques. La preuve utilise la structure exceptionnelle de n = 8 comme point de depart dune recurrence, puis s’appuie sur la dégénérescence torique de Speyer-Sturmfels et la thorie de la représentation de Sn.